Да, такие банки есть. Но я бы в такой банк свои деньги не отдала. Потому что контролировать их деятельность пока практически невозможно. Поэтому такие банки, скорее всего, могут быть нацелены на обман своих клиентов.
Лучше использовать услуги обычного банка, который имеет систему "Клиент-банк".
В таком банке все оформляется на бумаге, а вот следить за своим счетом Вы всегда можете через Интернет в режиме реального времени.